1.

\(2\left|x-m\right|+x^2+2>2mx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left|x-m\right|-m^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-m^2+2>0\left(t=\left|x-m\right|\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2< f\left(t\right)=t^2+2t+2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m^2< minf\left(t\right)=2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< m< 2\)

Vậy \(-\sqrt{2}< m< 2\)

2.

\(x^2+2\left|x+m\right|+2mx+3m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+m\right)^2+2\left|x+m\right|+2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x+m\right|+1\right)^2< -2m^2+3m\)

Ta có \(VT=\left(\left|x+m\right|+1\right)^2=\left(-\left|x+m\right|-1\right)^2\le\left(-1\right)^2=1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(VP=-2m^2+3m>1\)

\(\Leftrightarrow2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< m< 1\)

Bạn tham khảo:

Cho bất phương trình  x2-6x +2(m+2)|x-3| +m2 +4m +12 >0có bao nhiêu giá trị nguyên của m ϵ [-10;10]  để bất phương tình... - Hoc24

Đoạn cuối mình làm sai:

\(\dfrac{3m-7}{m-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\Leftrightarrow1< m< 3\).

Nếu vậy thì đáp án đúng là A.

Để pt có 2 nghiệm thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-3\right)\left(m-1\right)=1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ne1\).

Khi đó theo hệ thức Viète: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\).

Do đó \(x_1+x_2+x_1x_2< 1\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)+\left(m-3\right)}{m-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{3m-7}{m-1}< 1\Leftrightarrow3m-7< m-1\Leftrightarrow2m< 6\Leftrightarrow m< 3\).

Vậy m là các số thoả mãn m < 3 và m khác 1.

\(m< \dfrac{4}{3}\)

Xét \(\dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{x-2}{x-1}< 0\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+1}{x\left(x-1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)< 0\Leftrightarrow0< x< 1\)

Xét \(3x^2-4x+m< 0\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow m< -3x^2+4x\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow m< \max\limits_{\left(0;1\right)}\left(-3x^2+4x\right)\)

Xét \(f\left(x\right)=-3x^2+4x\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(a=-3< 0\); \(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{3}\in\left(0;1\right)\)  \(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{4}{3}\)

a, thay m=2 vào phương trình (1) ta được:

x^2-6.x+3=0

có: \(\Delta\)1=(-6)^2-4.3=24>0

vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

x3=(6+\(\sqrt{ }\)24)/2=3+\(\sqrt{ }\)6

x4=(6-\(\sqrt{ }\)24)/2=3-\(\sqrt{ }\)6

b, từ phương trình (1) ta có :

\(\Delta\)=[-2(m+1)]^2-4.(m^2-1)=(2m+2)^2-4m^2+4=4m^2+8m+4-4m^2+4

=8m+8

để pt(1) có 2 nghiệm x1,x2 khi \(\Delta\)\(\ge\)0<=>8m+8\(\ge\)0

<=>m\(\ge\)-1

 m\(\ge\)-1 thì pt(1) có 2 nghiệm x1,x2

theo vi ét=>x1+x2=2m+2

lại có x1+x2=1<=>2m+2=1<=>m=-1/2(thỏa mãn)

vậy m=-1/2 thì pt(1) có 2 nghiệm x1+x2 thỏa mãn x1+x2=1

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-1=0\)(1)

a,Thay m=2 vào pt (1) có

\(x^2-2\left(2+1\right)x+2^2-1=0\)

⇔\(x^2-6x+3=0\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=3+\sqrt{6}\\x=3-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=3+\sqrt{6}\\x=3-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\) khi m=2

\(\Leftrightarrow mx-m^2\ge x-1\Leftrightarrow\left(m-1\right)x\ge m^2-1\)

- Với \(m=1\) tập nghiệm của BPT là R (ktm)

- Với \(m>1\) \(\Rightarrow m-1>0\Rightarrow x\ge\dfrac{m^2-1}{m-1}=m+1\) hay \([m+1;+\infty)\) (ktm)

- Với \(m< 1\Rightarrow m-1< 0\Rightarrow x\le m+1\) hay \((-\infty;m+1]\) có vẻ giống?

Nhẩm trắc nghiệm thì \(ax>b\) có tập nghiệm chứa dương vô cùng khi a>0, có tập nghiệm chứa âm vô cùng khi a<0

\(ax< b\) thì ngược lại

Đầu tiên lấy A là điểm gốc

Cho \(k=0\) ta được góc \(\dfrac{\pi}{4}\) nghĩa là 45 độ, lấy thước đo góc đo 1 góc tạo với OA góc 45 độ, cắt đường tròn lượng giác tại B. 

Vậy B là điểm biểu diễn đầu tiên của \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\) (A ko phải đâu nhé)

Tiếp theo, cho \(k=1\) ta được 1 góc mới bằng \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\) hay \(45^0+90^0\), nghĩa là góc mới này so với B sẽ quay thêm 1 góc 90 độ

Do đó, từ OB đo tiếp 1 góc vuông 90 độ, cắt đường tròn tại C.

Vậy C là điểm biểu diễn thứ 2

Tiếp tục cho \(k=2\) được góc \(45^0+180^0=\left(45^0+90^0\right)+90^0\) nghĩa là so với C sẽ quay thêm 1 góc 90 độ

Đo 1 góc 90 từ OC cắt đường tròn tại D

Vậy D là điểm thứ 3

Từ OD đo tiếp 1 góc 90 độ nữa (k=3)

Được điểm E là điểm thứ 4

Từ OE đo tiếp 1 góc 90 độ nữa, cắt đường tròn tại F

Nhưng để ý rằng F lúc này sẽ trùng B.

Ta chỉ cần đo đến khi nào trùng thế này là được

Vậy có 4 điểm biểu diễn là B, C, D, E 

\(\dfrac{\pi}{4}+k.\dfrac{\pi}{2}\)  nghĩa là góc làm gốc đầu tiên sẽ là 45 độ so với OA, và mỗi góc về sau sẽ thêm 1 đại lượng \(\dfrac{\pi}{2}\) hay 90 độ so với góc liền trước nó. Cứ xác định như vậy đến khi nào có 2 điểm trùng nhau thì thôi

Xét \(x^2-5x+4\le0\Leftrightarrow1\le x\le4\Rightarrow D_1=\left[1;4\right]\)

Xét \(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-m^2-1\right)\le0\)

- Nếu \(\left|m\right|\ge1\Rightarrow D_2=\left[2;m^2+1\right]\)

- Nếu \(\left|m\right|< 1\Rightarrow D_2=\left[m^2+1;2\right]\)

Do \(2\in\left[1;4\right]\), để \(D=D_1\cap D_2\) là 1 đoạn có độ dài bằng 1

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+1=1\\m^2+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

2: \(-4x^2+5x-2\)

\(=-4\left(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=-4\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{8}+\dfrac{25}{64}+\dfrac{7}{64}\right)\)

\(=-4\left(x-\dfrac{5}{8}\right)^2-\dfrac{7}{16}< =-\dfrac{7}{16}< 0\forall x\)

Sửa đề:\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}\)

Để f(x)>0 với mọi x thì \(\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}>0\forall x\)

=>\(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2< 0\forall x\)(1)

\(\text{Δ}=\left[\left(4m+4\right)\right]^2-4\cdot\left(-1\right)\left(1-4m^2\right)\)

\(=16m^2+32m+16+4\left(1-4m^2\right)\)

\(=32m+20\)

Để BĐT(1) luôn đúng với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}32m+20< 0\\-1< 0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>32m+20<0

=>32m<-20

=>\(m< -\dfrac{5}{8}\)